크루스칼 왈리스 검정 — ANOVA가 막힐 때 3개 집단을 비교하는 법

세 팀의 시즌 성적을 맞대볼 때, 트랙마다 조건이 달라 랩타임을 직접 비교하기는 어렵다. 대신 매 경기 어느 팀이 몇 위였나 하는 순위는 그대로 쌓인다. 데이터도 마찬가지다. 세 설비의 평균을 분산분석(ANOVA)으로 비교하려다 전제에서 막히는 경우가 있다 — 데이터가 종 모양이 아니고 설비당 표본도 10개가 안 될 때다. 이렇게 분산분석의 두 전제가 깨졌을 때 갈아타는 도구가 크루스칼 왈리스 검정이다.

한 줄로 정리하면 크루스칼 왈리스는 “순위로 하는 분산분석”이다. 값 대신 등수로 바꿔서, 세 집단 이상의 차이를 한 번에 확인한다. 이 글에서는 이 검정이 분류도의 어느 자리인지, H라는 통계량이 어떤 분포로 판정되는지, 그리고 판정 4단계를 예시 숫자로 밟아본다.

크루스칼 왈리스는 분류도의 어느 자리인가

가설검정 절차 분류도에서 평균 검정의 마지막 칸이 이 검정이다.

세 도구의 관계를 표로 놓으면 자리가 선명해진다.

왼쪽 열이 막히면 오른쪽 열로 옮기는 구조다. 분산분석이 F값으로 하던 일을, 크루스칼 왈리스는 순위로 한다. 집단 1~2개짜리 순위 검정의 원리는 윌콕슨 검정 글에서 다루고, 이 글은 그 논리를 세 집단 이상으로 확장한 것이다.

원리 — 세 반 합동 달리기의 등수표

논리는 윌콕슨 검정과 같다. 차이가 없다면 순위는 골고루 섞이고, 차이가 있다면 순위가 쏠린다.

세 반이 합동으로 달리기를 한다고 하자. 실력이 같다면 등수표에는 세 반 학생이 고르게 섞여 있어야 한다. 그런데 1반이 상위권을 쓸어가고 3반이 하위권에 몰려 있다면, “세 반 실력이 같다”는 믿음을 버릴 때가 된 것이다.

크루스칼 왈리스 검정의 절차가 정확히 이렇다.

1. 모든 집단의 표본을 한 줄로 합쳐 전체 순위를 매긴다 (동점은 평균 순위로 나눈다)
2. 집단별로 순위합을 구한다
3. “순위가 골고루 섞였을 때 기대되는 순위합”에서 각 집단이 얼마나 벗어났는지를 하나의 숫자로 모은다 — 이것이 검정통계량 H다
4. H가 클수록 쏠림이 심하다는 뜻이므로, 분포에서 p값을 구해 판정한다

H 통계량은 카이제곱 분포로 판정한다

여기서 시리즈 전체의 프레임이 또 반복된다. 절차는 똑같고, 바뀐 것은 통계량(H)과 그 통계량의 분포뿐이다. H의 샘플링 분포는 카이제곱 분포이고, 자유도는 집단 수에서 1을 뾠 값(k−1)이다. 집단 3개면 자유도 2다.

카이제곱 분포는 처음 등장하는 이름인데, 앞으로 자주 만나게 된다. 0 이상의 값만 가지는 비대칭 분포로, 자유도에 따라 모양이 달라진다는 점만 지금은 기억하면 된다. 비율 검정의 분할표와 분산 검정에서 다시 주인공으로 나오는 범용 분포라, 여기서 눈에 익혀두면 뒤가 편해진다.

판정 4단계 — 예시로 밟아보기

같은 역할의 설비 3대에서 각각 8개씩 측정값을 뽑았다. 값들이 비정규라 크루스칼 왈리스로 간다.

p값이 0.43으로 기준선보다 훨씬 크다. 순위의 쏠림이 우연 범위 안이라는 뜻이므로, “세 설비가 다르다고 볼 근거가 없다”가 결론이다. 설비 여러 대를 같은 성능으로 맞춰 운용해야 하는 현장이라면 반가운 결과다. 계산 자체는 소프트웨어가 하므로, 사람의 몫은 이 상황이 크루스칼 왈리스의 자리임을 알아보는 것과 결과를 바르게 읽는 것이다.

한 가지 주의점은 분산분석과 같다. 이 검정도 “적어도 하나 다르다”까지만 알려준다. 어느 설비가 다른지 짚으려면 집단 쌍별 사후 비교를 이어가야 한다.

핵심 요약

• 크루스칼 왈리스는 분산분석(ANOVA)의 비모수 대응 — 순위로 하는 분산분석이다
• 자리 조건: 비정규 + 표본 30개 미만 + 집단 3개 이상
• 논리: 차이가 없으면 순위가 섞이고, 있으면 쏠린다 — 쏠림의 크기가 H
• H는 자유도 k−1의 카이제곱 분포로 판정한다
• 결과는 “적어도 하나 다르다”까지 — 범인 지목은 사후 비교의 몫이다

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